함수의 극한을 "x가 a에 한없이 가까이 갈 때 f(x)가 한없이 L에 가까워지면, lim(x→a) f(x)=L"로 배워 알고 있습니다만, 저 "한없이 가까이" 같은 표현이 정말 찜찜합니다. 엄밀하지 않으니까요.
찾아보니 함수의 극한을 엄밀하게 정의한 엡실론-델타 논법이라는 것이 있다는데, 검색해서 상위에 뜬 관련 글 몇 개를 아무리 읽어도 부족한 제 머리로는 도저히 이해가 되지 않습니다.
혹여 이해에 도움이 되는 자료를 알고 계시다면 말씀해 주시면 감사히 이용하겠습니다. 부탁드립니다.
프리지아
2021.01.06 22:55
프리지아
2021.01.06 22:58
임시닉네임
2021.01.07 01:17
임시닉네임
2021.01.07 01:17
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2. Epsilon-delta definition이라는 건 아시다시피 아래와 같습니다.
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lim_{x -> x_0} f(x) = y_0 <=> For given ε>0, there exists some δ>0 such that if 0 < | x - x_0 | < δ, then | f(x) - y_0 | < ε
------------------------
즉, f(x)가 y_0에 가까이(L1-norm이 주어진 어떠한 양수 ε보다 작도록) 다가갈 수 있도록 하는 x_0 주위의 반지름 δ인 neighborhood가 존재한다는 것을 뜻합니다. 고등학교 수학 수준에서 배우는 정의와 비교하면 "δ가 주어졌을 때 ε를 찾을 수 있어야 하는 것 아닌가?"라고 논지의 순서가 뒤집힌 것처럼 보일 수 있지만 그렇지는 않습니다.
이 epsilon-delta statement가 참이라고 가정해봅시다. 즉, 위 조건을 만족하는 δ가 존재한다고 가정합니다. 그러면 δ보다 작고, 우리가 원하는만큼 충분히 작은 δ > δ' > 0에 대해서도 위 명제는 참이어야 합니다:
------------------------------
if 0 < | x - x_0 | < δ', then | f(x) - y_0 | < ε
------------------------------
즉 우리가 원하는대로 x가 x_0에 충분히 한없이 가까워짐에 따라(우리는 δ'를 얼마든지 원하는 만큼 작게 만들어도 됩니다!), f(x)는 y_0에 한없이 가까워졌습니다.
Epsilon-delta statement가 거짓이라고 가정해봅시다. 즉, δ를 아무리 작게 잡더라도 x_0과 거리 δ 이하인 점 중에서 | f(x') - y_0 | >= ε이 되도록 하는 x'이 반드시 존재한다고 가정합니다. 그러면 x'는 x_0와 충분히 한없이 가깝지만, f(x')는 y_0에서 ε 이상 떨어져 있게 됩니다. 즉 f(x')는 y_0와 한없이 가까워지지 못합니다. 따라서 수렴하기 위해서는 이러한 x'는 없어야 합니다.
글로 적으려니 좀 어려운데, 도움이 되셨길 바랍니다.