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잡담

2021.01.06 22:09

[질의/수학] 엡실론-델타 논법을 이해하고 싶습니다.

임시닉네임 https://gigglehd.com/gg/9140117

"시간이 지나면 이통사 수입이 남으면 틀림없이 요금을 내릴 겁니다." - 오남석

조회 수 903 댓글 7

함수의 극한을 "x가 a에 한없이 가까이 갈 때 f(x)가 한없이 L에 가까워지면, lim(x→a) f(x)=L"로 배워 알고 있습니다만, 저 "한없이 가까이" 같은 표현이 정말 찜찜합니다. 엄밀하지 않으니까요.

찾아보니 함수의 극한을 엄밀하게 정의한 엡실론-델타 논법이라는 것이 있다는데, 검색해서 상위에 뜬 관련 글 몇 개를 아무리 읽어도 부족한 제 머리로는 도저히 이해가 되지 않습니다.

혹여 이해에 도움이 되는 자료를 알고 계시다면 말씀해 주시면 감사히 이용하겠습니다. 부탁드립니다.

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Comments '7'

프리지아 Facta, Non Verba 2021.01.06 22:55

1. '한없이 가까이'는, 결국 두 점의 거리(distance 또는 measure, 이 경우에는 절대값을 이용하는 L1-norm)가 충분히 작아진다는 것을 뜻합니다.

2. Epsilon-delta definition이라는 건 아시다시피 아래와 같습니다.
------------------------
lim_{x -> x_0} f(x) = y_0 <=> For given ε>0, there exists some δ>0 such that if 0 < | x - x_0 | < δ, then | f(x) - y_0 | < ε
------------------------
즉, f(x)가 y_0에 가까이(L1-norm이 주어진 어떠한 양수 ε보다 작도록) 다가갈 수 있도록 하는 x_0 주위의 반지름 δ인 neighborhood가 존재한다는 것을 뜻합니다. 고등학교 수학 수준에서 배우는 정의와 비교하면 "δ가 주어졌을 때 ε를 찾을 수 있어야 하는 것 아닌가?"라고 논지의 순서가 뒤집힌 것처럼 보일 수 있지만 그렇지는 않습니다.

이 epsilon-delta statement가 참이라고 가정해봅시다. 즉, 위 조건을 만족하는 δ가 존재한다고 가정합니다. 그러면 δ보다 작고, 우리가 원하는만큼 충분히 작은 δ > δ' > 0에 대해서도 위 명제는 참이어야 합니다:
------------------------------
if 0 < | x - x_0 | < δ', then | f(x) - y_0 | < ε
------------------------------
즉 우리가 원하는대로 x가 x_0에 충분히 한없이 가까워짐에 따라(우리는 δ'를 얼마든지 원하는 만큼 작게 만들어도 됩니다!), f(x)는 y_0에 한없이 가까워졌습니다.

Epsilon-delta statement가 거짓이라고 가정해봅시다. 즉, δ를 아무리 작게 잡더라도 x_0과 거리 δ 이하인 점 중에서 | f(x') - y_0 | >= ε이 되도록 하는 x'이 반드시 존재한다고 가정합니다. 그러면 x'는 x_0와 충분히 한없이 가깝지만, f(x')는 y_0에서 ε 이상 떨어져 있게 됩니다. 즉 f(x')는 y_0와 한없이 가까워지지 못합니다. 따라서 수렴하기 위해서는 이러한 x'는 없어야 합니다.

글로 적으려니 좀 어려운데, 도움이 되셨길 바랍니다.
프리지아 Facta, Non Verba 2021.01.06 22:58

그리고 epsilon-delta definition은 원래 수학과가 아닌 이상, 고등학교 때 날고 기어봤자 제대로 이해하는 비율이 10~20%도 안됩니다. 그러니 지금은 이해가 너무 힘드시면 적당히 넘기시는 걸 권해드립니다.
임시닉네임 "시간이 지나면 이통사 수입이 남으면 틀림없이 요금을 내릴 겁니다." - 오남석 2021.01.07 01:17

으... 어렵네요 ㅠㅠ 열심히 이해하려고 노력해 보겠습니다.
DecAF 2021.01.06 23:07

http://naver.me/FiWVJIjh
글로 설명하면 너무 길어져서 궁금해 하시는 한없이 가까이 라는게 어떤건지는 이 영상으로 해결 될 것 같습니다.
임시닉네임 "시간이 지나면 이통사 수입이 남으면 틀림없이 요금을 내릴 겁니다." - 오남석 2021.01.07 01:17

확실히 영상이 직관적으로 눈에 보이니 편하네요. 자료 감사합니다.
쮸쀼쮸쀼 2021.01.07 06:00

뜬금없어 보일 수도 있지만, 컴퓨터에서 정수가 아닌 수를 부동소수점으로 나타낼 때도 위와 같은 개념이 적용됩니다.

부동소수점은 숫자를 (대개 밑수가 2인) 과학적 표기법으로 기록하는 것인데, 그러다 보니 정확한 값이 아니라 근사값을 기록할 수밖에 없습니다. 이는 근본적으로는 유한한 비트 개수로 임의의 수를 표시하는 데 따른 어쩔 수 없는 한계(Finite Word-length effect)이지요.

예를 들면 IEEE 754 64비트 부동소수점으로 원주율을 나타내면 십진수로 소수점 아래 15자리까지만 정확합니다. 즉 일종의 반올림이 일어날 수밖에 없는 것인데, 그러므로 부동소수점을 통한 숫자 처리에는 대개 어떤 오차가 들어가게 됩니다. 이 오차의 상한을 바로 ‘계산기 엡실론’(Machine epsilon)이라고 하지요. 결국 이런 근사적인 표기법 또한 위에서 말하는 [어떤 숫자에 한없이 가까이 다가가는 것]이라고 볼 수 있지 않을까 합니다.

앞서 말한 IEEE 754 64비트 부동소수점(binary64)의 경우 가수부에 52비트를 쓰기 때문에, 계산기 엡실론은 2^-52 ≒ 2.22e-16 정도가 됩니다. 자바스크립트에서는 모든 숫자 연산에서 항상 이 규격의 부동소수점만 쓰게끔 되어 있기 때문에 가끔 이 오차를 감안해야 하는 경우가 있으므로 요즘은 아예 언어 차원에서 상수(Number.EPSILON)로 박아뒀습니다. 다른 언어에서도 아마 비슷하게 상수가 정의되어 있을 것이고요.

참고:
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%80%EB%8F%99%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%90
https://perfectacle.github.io/2016/12/24/ES6-Number-object-and-function/#Number-EPSILON
https://perfectacle.github.io/2017/08/04/ES6-EPSILON/
설레이는북극곰 2021.02.01 09:06

https://youtu.be/IsEIx2mR1vM

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