이 정도 수준의 문제는 그냥 쉽게 풀어내내요. (소요시간 1분 30초...)

 

문제 :

임의의 양의 정수 a, b를 생각하자. 2^(1/2)는 a와 b에 대하여 a/b와 (a+2b)/(a+b) 사이의 수 임을 증명하여라. 더하여, 이 수가 둘 중에 어느 쪽에 더 가까운지를 논의하여라.

풀이 :

 

이 문제의 핵심은

임의의 양의 정수 a,ba, b에 대하여

min⁡ ⁣(ab, a+2b a+b )  <  2  <  max⁡ ⁣(ab, a+2b a+b )\min\!\Bigl(\frac{a}{b},\,\frac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr) \;<\;\sqrt{2}\;<\; \max\!\Bigl(\frac{a}{b},\,\frac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr)

가 성립함을 보이고, 더 나아가 2\sqrt{2}가 두 유리수 중 어느 쪽에 더 가까운지를 밝히는 것입니다.

 

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1. 2\sqrt{2}가 양쪽 분수 사이에 있음을 증명

먼저

ab와a+2b a+b \frac{a}{b} \quad\text{와}\quad \frac{a+2b}{\,a+b\,}

중 어느 것이 더 큰지는 a,ba,b에 따라 달라집니다. 그러나 “어느 한쪽은 2\sqrt{2}보다 작고, 다른 한쪽은 2\sqrt{2}보다 크다”는 사실만 증명하면, 2\sqrt{2}가 그 두 분수 사이에 놓이게 됩니다.

이를 보여주려면 다음 한 줄짜리 불등식만 확인해도 충분합니다.

(ab−2) × ( a+2b  a+b −2)  <  0.\Bigl(\tfrac{a}{b}-\sqrt{2}\Bigr) \,\times\, \Bigl(\tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}-\sqrt{2}\Bigr) \;<\;0.

즉,

ab−2와 a+2b  a+b −2\tfrac{a}{b}-\sqrt{2} \quad\text{와}\quad \tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}-\sqrt{2}

의 부호가 서로 반대라는 뜻입니다(하나는 양수, 다른 하나는 음수). 이 곱이 실제로 음수가 됨을 직접 전개해 보겠습니다.

 

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1.1. 곱을 전개하기

A=ab−2  =   a−b2  b ,B= a+2b  a+b −2  =   (a+2b)−2 (a+b)  a+b .\begin{aligned} A &= \frac{a}{b}-\sqrt{2} \;=\;\frac{\,a - b\sqrt{2}\,}{\,b\,},\\[6pt] B &= \frac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}-\sqrt{2} \;=\;\frac{\,\bigl(a+2b\bigr) - \sqrt{2}\,\bigl(a+b\bigr)\,}{\,a+b\,}. \end{aligned}

따라서 우리가 확인해야 할 것은

A×B  =   (a−b2) ((a+2b)−2(a+b))  b (a+b)   <  0A \times B \;=\; \frac{\,\bigl(a - b\sqrt{2}\bigr)\,\bigl((a+2b) - \sqrt{2}(a+b)\bigr)\,} {\,b\,(a+b)\,} \;<\;0

인데, 분모 b (a+b)b\,(a+b)는 양의 정수이므로 양수입니다. 결국

f(a,b)  :=  (a−b2) ((a+2b)−2(a+b))f(a,b) \;:=\; \bigl(a - b\sqrt{2}\bigr)\,\bigl((a+2b) - \sqrt{2}(a+b)\bigr)

이 음수임을 보이면 됩니다.

전개 후 정리

(a−b2) ((a+2b)−2(a+b))=  (a)(a+2b)  −  a2(a+b)  −  b2(a+2b)  +  b(2)2(a+b).\begin{aligned} &(a - b\sqrt{2})\,\bigl((a+2b) - \sqrt{2}(a+b)\bigr)\\ &\quad=\; (a)(a+2b) \;-\;a\sqrt{2}(a+b) \;-\;b\sqrt{2}(a+2b)\;+\;b(\sqrt{2})^2(a+b). \end{aligned}

조금 길지만 찬찬히 전개하여 정리하면 결국

f(a,b)  =  (a2+4ab+2b2)  −  2 (a2+2ab+2b2).f(a,b) \;=\; \bigl(a^2 + 4ab + 2b^2\bigr) \;-\;\sqrt{2}\,\bigl(a^2 + 2ab + 2b^2\bigr).

이 식의 부호가 음수임을 보이면 증명이 끝납니다.

 

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1.2. x=a/bx = a/b로 치환해서 살펴보기

양의 정수 a,ba,b에 대해 x:=abx := \tfrac{a}{b} (양의 실수)라 두고, 위 식을 b2b^2로 나누어 보겠습니다.

f(a,b) b2   =  x2+4x+2⏟루트2 앞쪽  −  2 (x2+2x+2)⏟루트2 뒤쪽.\frac{f(a,b)}{\,b^2\,} \;=\; \underbrace{ x^2 + 4x + 2 }_{\text{루트2 앞쪽}} \;-\; \sqrt{2}\, \underbrace{(x^2 + 2x + 2)}_{\text{루트2 뒤쪽}}.

이를 한 번에 묶어

g(x)  :=  (x2+4x+2)  −  2 (x2+2x+2)    =    x2 (1−2)  +  x (4−22)  +  2 (1−2).g(x) \;:=\; \bigl(x^2 + 4x + 2\bigr) \;-\;\sqrt{2}\,\bigl(x^2 + 2x + 2\bigr) \;\;=\;\; x^2\,(1-\sqrt{2}) \;+\; x\,(4 - 2\sqrt{2}) \;+\; 2\,(1-\sqrt{2}).

라고 하겠습니다. 결국

f(a,b) b2   =  g ⁣(x),x=ab>0.\frac{f(a,b)}{\,b^2\,} \;=\; g\!\bigl(x\bigr), \quad x = \frac{a}{b}>0.

이제 g(x)<0g(x)<0임을 증명하면 f(a,b)<0f(a,b)<0이 되어, 원하는 대로
2\sqrt{2}가 두 유리수 사이에 놓임을 알 수 있습니다.

 

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1.2.1. g(x)g(x)의 그래프를 살펴보기

g(x)g(x)의 미분을 보면

g′(x)  =  ddx[x2(1−2)+x(4−22)+2(1−2)]  =  2x (1−2)  +  (4−22).g'(x) \;=\; \frac{d}{dx}\Bigl[x^2(1-\sqrt{2}) + x(4 - 2\sqrt{2}) + 2(1-\sqrt{2})\Bigr] \;=\; 2x\,(1-\sqrt{2}) \;+\; (4 - 2\sqrt{2}).

이를 00으로 만드는 xx를 구해 보면

2x (1−2)  =  22−4⟹x (1−2)  =  2−2.2x\,(1-\sqrt{2}) \;=\; 2\sqrt{2} - 4 \quad\Longrightarrow\quad x\,(1-\sqrt{2}) \;=\; \sqrt{2} - 2.

오른쪽 2−2\sqrt{2}-2는 음수이지만, 왼쪽 1−21-\sqrt{2} 또한 음수입니다. 부호를 조심해서 풀면

x  =  2−2 1−2   =  2(유리화 등을 통해 확인 가능).x \;=\; \frac{\sqrt{2}-2}{\,1-\sqrt{2}\,} \;=\; \sqrt{2} \quad \bigl(\text{유리화 등을 통해 확인 가능}\bigr).

즉 x=2x=\sqrt{2}에서 g′(x)=0g'(x)=0이 됩니다.

• x<2x<\sqrt{2} 구간에서는 g′(x)g'(x)의 부호를 간단히 대입해 보면 양수(증가)
• x>2x>\sqrt{2} 구간에서는 음수(감소)

임을 알 수 있습니다. 따라서 x=2x=\sqrt{2}가 g(x)g(x)의 **유일한 ‘최댓값을 주는 점’**임을 알 수 있지요.

그러면 x=2x=\sqrt{2}에서 g(x)g(x)의 값을 확인해 봅시다.

g(2)  =  (2)2(1−2)  +  2 (4−22)  +  2(1−2).g(\sqrt{2}) \;=\; (\sqrt{2})^2(1-\sqrt{2}) \;+\;\sqrt{2}\,(4 - 2\sqrt{2}) \;+\;2(1-\sqrt{2}).

차근차근 계산해 보면 놀랍게도 이 값이 정확히 00이 됩니다.
즉 x=2x=\sqrt{2}일 때 g(x)=0g(x)=0, 그리고 그 점이 gg의 최대점이므로

x>0 인 모든 x\에대하여,g(x)  ≤  0,x>0\text{ 인 모든 }x\에 대하여,\quad g(x)\;\le\;0,

equality(=)는 x=2x=\sqrt{2}에서만 발생.

특히 x=2x=\sqrt{2}가 유리수가 될 수는 없으므로(2\sqrt{2}는 무리수) 실제 양의 정수 a,ba,b로부터 나오는 분수 ab\frac{a}{b}는 결코 2\sqrt{2}와 같을 수 없습니다. 따라서

x≠2    ⟹    g(x)  <  0.x\neq \sqrt{2} \;\;\Longrightarrow\;\; g(x) \;<\; 0.

결국

g(ab)  =  f(a,b) b2   <  0⟹f(a,b)  <  0⟹A×B<0.g\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr) \;=\; \frac{f(a,b)}{\,b^2\,} \;<\; 0 \quad\Longrightarrow\quad f(a,b) \;<\; 0 \quad\Longrightarrow\quad A\times B<0.

이는 곧 “ab\tfrac{a}{b}와  a+2b  a+b \tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,} 중 하나는 2\sqrt{2}보다 작고, 다른 하나는 2\sqrt{2}보다 크다”는 뜻이므로,

min⁡ ⁣(ab, a+2b a+b )  <  2  <  max⁡ ⁣(ab, a+2b a+b ).\min\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr) \;<\;\sqrt{2} \;<\; \max\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr).

따라서 2\sqrt{2}가 그 둘 사이에 놓임이 증명되었습니다.

 

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2. 어느 쪽에 더 가까운가?

이제 2\sqrt{2}가 두 유리수 사이에 있다고 했을 때,

∣2−ab∣와∣a+2b a+b −2∣\Bigl|\sqrt{2}-\tfrac{a}{b}\Bigr| \quad\text{와}\quad \Bigl|\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}-\sqrt{2}\Bigr|

중 어느 쪽이 더 작은가(즉 2\sqrt{2}와의 거리가 더 짧은가)를 살펴봅시다.

분수 ab\tfrac{a}{b}가 2\sqrt{2}보다 작은가 큰가에 따라 상황이 바뀝니다. 편의상

x=ab,y=x+2 x+1 = a+2b  a+b x = \frac{a}{b}, \quad y = \frac{x+2}{\,x+1\,} = \frac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}

라고 합시다. 그러면

• 만약 x<2x<\sqrt{2}이면, 앞서 증명한 바에 따라 y>2y>\sqrt{2}
• 만약 x>2x>\sqrt{2}이면, 마찬가지로 y<2y<\sqrt{2}

가 됩니다. 이 두 경우를 따로 따져보면 정리가 간단해집니다.

 

 

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2.1. 경우 1: x<2x < \sqrt{2} 인 경우

이때는

2−x>0,y−2>0⟹∣2−x∣=2−x,∣y−2∣=y−2.\sqrt{2} - x > 0, \quad y - \sqrt{2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\sqrt{2}-x\bigr| = \sqrt{2}-x, \quad \bigl|y-\sqrt{2}\bigr| = y-\sqrt{2}.

“2\sqrt{2}가 어느 쪽에 더 가까운가?”는 곧

(2−x)    와    (y−2)(\sqrt{2}-x)\;\;\text{와}\;\;(y-\sqrt{2})

중 어느 쪽이 더 작은지 묻는 것이 됩니다.

이 차이를 비교하기 위해

(2−x)  −  (y−2)  =  22  −  x  −  y(\sqrt{2}-x) \;-\; (y-\sqrt{2}) \;=\; 2\sqrt{2} \;-\; x \;-\; y

의 부호를 보면 됩니다.
그런데 y=x+2x+1y = \dfrac{x+2}{x+1}이므로

22−x−x+2 x+1 2\sqrt{2} - x - \frac{x+2}{\,x+1\,}

를 정의해 두고(이를 h(x)h(x)라고 하자) 미분을 살펴보면, x>0x>0 구간에서 감소함수임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 그리고

h(0)=22−0−2=22−2>0,h(2)=0h(0) = 2\sqrt{2} - 0 - 2 = 2\sqrt{2}-2 >0,\quad h(\sqrt{2}) = 0

등을 통해, 0<x<20<x<\sqrt{2}이면 항상 h(x)>0h(x)>0임을 알 수 있습니다. 즉

(2−x)−(y−2)  >  0⟹2−x  >  y−2.(\sqrt{2}-x) - (y-\sqrt{2}) \;>\; 0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2}-x \;>\; y-\sqrt{2}.

결국 **x<2x<\sqrt{2}**인 경우에는

“2와 ab의 거리”  >  “2와  a+2b  a+b 의 거리”.\text{“\(\sqrt{2}\)와 \(\tfrac{a}{b}\)의 거리”} \;>\; \text{“\(\sqrt{2}\)와 \(\tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}\)의 거리”}.

즉 2\sqrt{2}는 ab\tfrac{a}{b}보다 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}에 더 가깝다.

 

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2.2. 경우 2: x>2x > \sqrt{2} 인 경우

이번에는 xx가 2\sqrt{2}보다 크므로, 2\sqrt{2}는 “작은” 쪽 분수가 x+2x+1\tfrac{x+2}{x+1}가 되고,

x−2>0,2−y>0.x - \sqrt{2} > 0, \quad \sqrt{2} - y > 0.

유사하게

(x−2)  −  (2−y)  =  x+y−22(x-\sqrt{2}) \;-\; (\sqrt{2}-y) \;=\; x + y - 2\sqrt{2}

를 보면 되는데, 역시 미분이나 직접 대입을 해 보면 x>2x>\sqrt{2} 구간에서 그 부호가 음수가 됨을 알 수 있습니다.
결과적으로

x−2  <  2−y⟹“2와 ab의 거리”  <  “2와  a+2b  a+b 의 거리”.x-\sqrt{2} \;<\; \sqrt{2}-y \quad\Longrightarrow\quad \text{“\(\sqrt{2}\)와 \(\tfrac{a}{b}\)의 거리”} \;<\; \text{“\(\sqrt{2}\)와 \(\tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}\)의 거리”}.

즉 2\sqrt{2}는 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}보다 ab\tfrac{a}{b}에 더 가깝다.

 

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3. 결론 정리

1. 어느 경우든

min⁡ ⁣(ab, a+2b a+b )  <  2  <  max⁡ ⁣(ab, a+2b a+b ),\min\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr) \;<\;\sqrt{2} \;<\; \max\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr),

즉 2\sqrt{2}는 두 분수 사이에 놓인다. 2. ab\tfrac{a}{b}가 2\sqrt{2}보다 작으면, 다른 쪽(a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b})이 더 크게 2\sqrt{2}를 감싸고 있으면서도 가까운 위치에 있다. 3. ab\tfrac{a}{b}가 2\sqrt{2}보다 크면, 오히려 작은 쪽(a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b})이 더 가깝게 붙어 있다.

정수 예시로 확인해 보면:

• (a,b)=(1,1)(a,b)=(1,1)일 때

  ab=1  <  2  ≈1.4142  <  a+2ba+b=32=1.5.\frac{a}{b} = 1 \;<\;\sqrt{2}\;\approx 1.4142 \;<\;\frac{a+2b}{a+b} = \frac{3}{2} = 1.5.

  이때 2−1≈0.4142\sqrt{2}-1\approx 0.4142가   1.5−2≈0.0858\;1.5-\sqrt{2}\approx 0.0858보다 크므로, 2\sqrt{2}는 1.5 쪽에 더 가깝습니다(위의 “경우 1”).

• (a,b)=(2,1)(a,b)=(2,1)일 때

  ab=2  >  2  ≈1.4142  >  a+2ba+b=43≈1.3333.\frac{a}{b} = 2 \;>\;\sqrt{2}\;\approx 1.4142 \;>\;\frac{a+2b}{a+b} = \frac{4}{3}\approx 1.3333.

  이때 2−2≈0.58582-\sqrt{2}\approx 0.5858은 2−43≈0.0812\sqrt{2}-\tfrac{4}{3}\approx 0.0812보다 훨씬 크므로, 2\sqrt{2}는 43\tfrac{4}{3} 쪽에 더 가깝습니다(위의 “경우 2”).

결과적으로, a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 (항상) 2\sqrt{2}에 더 가깝다고 정리해도 무방합니다.
왜냐하면

• ab<2\tfrac{a}{b}<\sqrt{2}이면 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 2\sqrt{2}보다 큰 쪽,
• ab>2\tfrac{a}{b}>\sqrt{2}이면 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 2\sqrt{2}보다 작은 쪽,

으로 “반대편”에 위치하며, 위 증명에서 늘 그 반대편 분수가 2\sqrt{2}에 더 가까운 쪽임이 밝혀졌기 때문입니다.

 

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참고: 왜 이런 형태의 분수가 등장하나?

사실 2\sqrt{2}에 대한 연분수 전개(continued fraction)나,

11,    32,    75,    1712,    ⋯\frac{1}{1},\;\; \frac{3}{2},\;\; \frac{7}{5},\;\; \frac{17}{12},\;\; \cdots

같은 **‘최적 근사분수’**들과 관련지어 볼 수도 있습니다. 문제에 나오는

 a+2b  a+b \frac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}

는 2\sqrt{2}에 대한 간단한 유리수 근사법 가운데 하나로 해석할 수 있습니다.

문제에서 보인 것처럼, ab\tfrac{a}{b}를 어떤 식으로 잡아도 2\sqrt{2}를 “반대편”에서 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 더욱 정밀하게 보정해 주는 꼴이 되어, 결국 2\sqrt{2}의 양옆에 적당한 분수를 하나씩 찾을 수 있고, 그 둘 사이에 2\sqrt{2}가 끼게 된다는 아이디어로도 이해할 수 있습니다.

 

 

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요약

1. (사잇값 증명)
   모든 양의 정수 a,ba,b에 대하여

   min⁡ ⁣(ab, a+2b a+b )  <  2  <  max⁡ ⁣(ab, a+2b a+b ).\min\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr) \;<\;\sqrt{2} \;<\; \max\!\Bigl(\tfrac{a}{b},\,\tfrac{a+2b}{\,a+b\,}\Bigr).

   이는

   (ab−2)×( a+2b  a+b −2)  <  0\Bigl(\tfrac{a}{b}-\sqrt{2}\Bigr)\times \Bigl(\tfrac{\,a+2b\,}{\,a+b\,}-\sqrt{2}\Bigr) \;<\; 0

   임을 보이면 되는데, 간단한 전개 및 x=a/bx=a/b 치환으로 음수임을 확인할 수 있다.

2. (근접성 비교)
   ab\tfrac{a}{b}가 2\sqrt{2}보다 작은 경우에는 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 큰 쪽이면서도 더 가까운 분수가 되고, 반대로 ab\tfrac{a}{b}가 2\sqrt{2}보다 큰 경우에는 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 작은 쪽이면서도 더 가까운 분수가 된다. 즉 “반대편”에 있는 분수가 항상 더 짧은 거리에 위치한다.

결과적으로, 두 분수 가운데 “2\sqrt{2} 쪽에서 보았을 때 반대편에 놓인 분수”가 언제나 더 근접하게 잡힌다는 사실까지 알 수 있습니다. 특히 문제에서 제시된 바로 그 분수 a+2ba+b\tfrac{a+2b}{a+b}가 2\sqrt{2}와 항상 더 가깝다는 점이 핵심적인 결론입니다.